الجبر الخطي الأمثلة

$\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 7$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2.4

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2.7

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3 x + 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 x + 21}]$

خطوة 3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 21}]$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 3 (7)}]$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x) + 3 (7)$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

خطوة 3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

خطوة 3.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x + 7}]$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x + 7}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x + 7}$ بالصيغة ${(x + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7]))$

خطوة 3.7

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0))$

خطوة 3.8

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1)$

خطوة 3.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2})$

خطوة 3.10

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 {(x + 7)}^{- 2}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\frac{x - x - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

اطرح $7$ من $0$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.5

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 2}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{7}{x^{2}} - \frac{2}{{(x + 7)}^{2}}$